Algebra Relazionale

Definizione di algebra relazionale

L’algebra relazionale è un formalismo matematico utilizzato per definire e manipolare le query sui database relazionali. È un linguaggio di interrogazione teorico che fornisce un insieme di operazioni per estrarre e combinare dati da tabelle (o relazioni) in un database. È stata introdotta da Edgar F. Codd nel 1970 per promuovere l’indipendenza dei dati.

L’algebra relazionale è composta da un insieme di operatori che operano su relazioni e producono nuove relazioni come output. Questi operatori possono essere composti insieme per formare espressioni più complesse.

Operazioni principali

L’algebra relazionale tratta le relazioni come insiemi, quindi sono applicabili Operatori insiemistici come unione, intersezione e differenza. Questi operatori possono essere applicati solo a relazioni definite sugli stessi attributi, il che significa che possono operare solo su tuple uniformi.

WARNING

Gli operatori insiemistici possono essere applicati solo a relazioni con schemi identici, il che significa che possono operare solo su tuple uniformi.

Gli operatori nell’algebra relazionale possono essere classificati come segue:

• Operatori insiemistici: unione, intersezione, differenza

Selezione (σ)

L’operatore di selezione in algebra relazionale, denotato con , è un operatore monadico (che ha un solo argomento) che estrae un sottoinsieme di tuple da una relazione in base a una condizione specificata. Questo operatore produce una nuova relazione che ha lo stesso schema dell’operando originale, ma contiene solo le tuple che soddisfano la condizione.

La condizione di selezione è un’espressione booleana che può combinare condizioni atomiche usando i connettivi logici AND (), OR () e NOT (). Le condizioni atomiche confrontano i valori degli attributi con costanti o con altri attributi utilizzando Operatori di confronto.

Esempio pratico di applicazione dell'operatore 'Selezione'

Si consideri la seguente relazione Impiegati:

Cognome	Filiale	Stipendio	Matricola
Neri	Milano	645998	1
Rossi	Roma	357309	2
Neri	Napoli	645698	3
Milano	Milano	449553	4

Per estrarre gli impiegati che guadagnano più di 500,000, si può utilizzare la seguente espressione di selezione:

σ Stipendio > 500000 (Impiegati)

Il risultato di questa operazione sarebbe la seguente relazione:

Cognome	Filiale	Stipendio	Matricola
Neri	Milano	645998	1
Neri	Napoli	645698	3

Proiezione (π)

L’operatore di proiezione, denotato con π (pi greco), estrae un sottoinsieme di colonne (attributi) da una relazione. In altre parole, esegue una “decomposizione verticale”, mantenendo solo le colonne specificate.

Sintassi:

π ListaAttributi (Relazione)

Semantica:

Il risultato dell’operazione di proiezione è una nuova relazione che contiene solo gli attributi elencati nella ListaAttributi. Le tuple nella nuova relazione mantengono i valori corrispondenti agli attributi selezionati.

Esempio:

Riprendendo la relazione Impiegati precedente, per estrarre solo i cognomi e i salari degli impiegati, si può usare la seguente espressione:

π Cognome, Stipendio (Impiegati)

Il risultato sarebbe:

Cognome	Stipendio
Neri	645998
Rossi	557309
Neri	645698
Milano	449553

Ridenominazione (ρ)

L’operatore di ridenominazione, , è un operatore monadico e modifica lo schema di una relazione rinominando uno o più attributi.

• L’operatore di ridenominazione è utile per rendere tuple di dati (o colonne) omogenee tra loro.

Applicazione pratica dell'operatore ridenominazione

L’obiettivo è utilizzare l’operatore di ridenominazione affinché tutte le tuple risultino omogenee..

Database ‘Impiegati’:

Cognome	Ufficio	Stipendio
Rossi	Roma	55
Neri	Milano	64

- - - Database ‘Operai’:

Cognome	Fabbrica	Salario
Bruni	Monza	45
Verdi	Latina	55

..infine utilizzo l’operatore unione per ottenere un unico database omogeneo che contiene tutte le informazioni contenute nelle basi principali: P Sede,Retribuzione ← Ufficio, Stipendio(Impiegati) ∪ P Sede,Retribuzione ← Fabbrica, Salario(Impiegati)

Cognome	Sede	Retribuzione
Rossi	Roma	55
Neri	Milano	64
Bruni	Monza	45
Verdi	Latina	55

Sintassi:

ρ NuovoNomeRelazione (Relazione) 

oppure

ρ VecchioAttributo->NuovoAttributo (Relazione)

Join (⨝)

Join Naturale

Il join naturale è un caso speciale del theta-join dove la condizione θ è l’uguaglianza tra tutti gli attributi con lo stesso nome nelle due relazioni.

Sintassi:

Relazione1 ⋈ Relazione2

Semantica:

Il risultato del join naturale contiene tutte le combinazioni di tuple dalle due relazioni di input dove i valori degli attributi con lo stesso nome sono uguali.

Esempio:

Supponiamo che la relazione Impiegati abbia un attributo Reparto e la relazione Reparti abbia un attributo NomeReparto. Il join naturale Impiegati ⋈ Reparti combinerà le tuple dove Impiegati.Reparto = Reparti.NomeReparto.

Theta-join

Il theta-join è una generalizzazione del join naturale che consente di specificare una condizione arbitraria (θ) per combinare le tuple delle due relazioni. La condizione θ può essere un qualsiasi predicato booleano.

Sintassi:

Relazione1 ⋈<sub>θ</sub> Relazione2

Semantica:

Il risultato del theta-join contiene tutte le combinazioni di tuple dalle due relazioni di input che soddisfano la condizione θ.

Esempio:

Per estrarre tutte le coppie di impiegati e reparti dove l’impiegato lavora in quel reparto, si potrebbe usare un theta-join con la condizione Impiegati.Reparto = Reparti.CodiceReparto.

Semi join

Il semi-join restituisce le tuple della prima relazione che partecipano al join naturale con la seconda relazione.

Sintassi:

Relazione1 ⋉ Relazione2

Semantica:

Il risultato del semi-join contiene tutte le tuple di Relazione1 per le quali esiste una tupla in Relazione2 che soddisfa la condizione di join naturale.

Esempio:

Per ottenere una relazione contenente solo gli impiegati che lavorano in un reparto presente nella relazione Reparti, si può usare:

Impiegati ⋉ Reparti

Prodotto Cartesiano (×)

Il prodotto cartesiano è un’operazione fondamentale in matematica che consente di costruire insiemi di coppie ordinate a partire da due insiemi. Se abbiamo due insiemi e , il prodotto cartesiano di e è l’insieme di tutte le coppie ordinate dove e .

Definizione

Il prodotto cartesiano di due insiemi e , indicato con , è l’insieme di tutte le coppie ordinate tali che e . Matematicamente, .

• Notazione: Se e , allora .

• Proprietà:

  • Non Commutatività: In generale, . Ad esempio, se e , allora , mentre .
  • Cardinalità: Se è la cardinalità di (il numero di elementi in ) e è la cardinalità di , allora la cardinalità di è .

• Estensioni: Il concetto di prodotto cartesiano può essere esteso a più di due insiemi. Per esempio, il prodotto cartesiano di tre insiemi , , e è l’insieme delle triple ordinate con , , e .

NEW

Prodotto Cartesiano (×): L’operatore di prodotto cartesiano combina ogni tupla della prima relazione con ogni tupla della seconda relazione. Il risultato è una relazione con un numero di attributi pari alla somma degli attributi delle due relazioni di input.

Sintassi:

Relazione1 × Relazione2

Semantica:

Il risultato del prodotto cartesiano è una relazione che contiene tutte le possibili combinazioni di tuple dalle due relazioni di input.

Esempio:

Se la relazione Impiegati ha 4 tuple e la relazione Reparti ha 3 tuple, il prodotto cartesiano Impiegati × Reparti produrrà una relazione con 12 tuple (4 * 3).

Il modello relazionale

• Le relazioni sono insiemi e i risultati prodotti sono anch’essi relazioni. L’algebra relazionale può essere utilizzata solo con il modello di dati relazionale.
• Gli operatori possono essere combinati tra loro per creare espressioni complesse che consentono di estrarre informazioni specifiche dai dati relazionali.
• Tra questi, gli operatori unione, differenza, selezione, proiezione e join naturale sono considerati operatori primitivi.

Operatori insiemistici

Esempi

πTreno(σNome=‘Roma-Milano’∧ OrarioArrivo=”)

proiezione Codice (selezione nomePartito=Partitodemocratico(partito)) join codicePart=codice proiezione percFavorevoli(sondaggi)

dobbiamo fare una relazione tra partiti e sondaggi attraverso una rinominazione tra codice (in partito) e CodPart (in sondaggi)

πNomeFarmaco, Prezzo(σCategoria=“Antibiotico”((πCategoria, ID NomeFarmaco(sostanze))⨝(πNomeFarmaco, Prezzo , ρPrincipioAttivo=ID(Farmaci))))