Insiemi Limitati
Un insieme limitato è un concetto fondamentale nell’analisi matematica, soprattutto quando si lavora con gli insiemi di numeri reali. Un insieme è considerato limitato se esiste un confine numerico entro il quale tutti gli elementi dell’insieme si trovano.
Definizione
Un insieme
è detto limitato superiormente se esiste un numero reale tale che per ogni . Analogamente, è detto limitato inferiormente se esiste un numero reale tale che per ogni . Un insieme è considerato limitato se è sia limitato superiormente che inferiormente.
Notazione e Terminologia
- Se
è limitato superiormente, è chiamato un maggiorante di . - Se
è limitato inferiormente, è chiamato un minorante di . - Se un insieme è limitato, significa che esiste un intervallo reale
tale che ogni elemento di soddisfa la relazione .
Esempi
- L’insieme
è limitato perché tutti i suoi elementi sono compresi tra -2 e 5. - L’insieme
è limitato perché tutti i valori sono minori o uguali a 5 e maggiori o uguali a 1. - L’insieme dei numeri naturali
non è limitato, poiché per qualsiasi numero naturale , esiste sempre un numero naturale più grande (ad esempio, ).
Proprietà
- Un insieme in
è limitato se e solo se è contenuto in qualche intervallo chiuso . - Ogni sottoinsieme di un insieme limitato è anch’esso limitato.
- L’unione di due insiemi limitati non è necessariamente limitata, ma l’intersezione di due insiemi limitati è sempre limitata.
Insiemi Illimitati
Un insieme è considerato illimitato se non è limitato, ovvero se si estende all’infinito in almeno una direzione. Ci sono due tipi principali di insiemi illimitati:
-
Illimitati Superiormente: Un insieme
è illimitato superiormente se per ogni numero reale , esiste un tale che . Questo significa che l’insieme non ha un limite superiore. -
Illimitati Inferiormente: Un insieme
è illimitato inferiormente se per ogni numero reale , esiste un tale che . Questo significa che l’insieme non ha un limite inferiore.
Esempi
- L’insieme dei numeri reali
è illimitato sia superiormente che inferiormente. - L’insieme dei numeri naturali
è limitato inferiormente (per esempio, da 0 o 1 a seconda della definizione) ma illimitato superiormente. - L’insieme
è illimitato superiormente perché per qualsiasi , esiste sempre un in tale che .
Proprietà
- Un insieme illimitato non può essere contenuto interamente in alcun intervallo finito
. - Se un insieme contiene un intervallo del tipo
o , allora è illimitato. - L’unione di un insieme illimitato con qualsiasi altro insieme (limitato o illimitato) è illimitata.