Massimi, minimi, maggioranti e minoranti

Maggioranti e Minoranti

Un maggiorante di un insieme è un numero tale che per ogni . Se esiste un tale , allora è detto limitato superiormente. Analogamente, un minorante di è un numero tale che per ogni . Se esiste un tale , allora è detto limitato inferiormente.

Esempi

• Se , allora è un maggiorante di e è un minorante.
• Per l’insieme , è un maggiorante ma non appartiene a .

Massimi e Minimi

Un insieme ha un massimo se esiste un elemento tale che per ogni . In questo caso, è anche un maggiorante di , ma è un maggiorante speciale perché appartiene a . Analogamente, ha un minimo se esiste un elemento tale che per ogni . Questo è un minorante di e appartiene a .

Esempi

• L’insieme ha il massimo e il minimo .
• L’insieme non ha un massimo, ma ha un minimo, che è .

Proprietà

• Ogni insieme di numeri reali ha al massimo un massimo e un minimo.
• Se un insieme ha un massimo (minimo), allora tale massimo (minimo) è l’unico maggiorante (minorante) che appartiene all’insieme.
• Non tutti gli insiemi hanno massimi o minimi. Per esempio, l’insieme dei numeri reali non ha né massimo né minimo.