Teorema
Sia
un numero reale positivo e sia un numero intero positivo, esiste un unico numero reale positivo tale che . prende il nome di radice -esima di e si indica con Transclude of Radicali-2024-03-25-18.56.39.excalidraw
Vediamo degli esempi di radicali:
Nell’ultimo esempio otteniamo come risultato un numero irrazionale, quindi illimitato, non periodico
Nota bene
Non sottovalutare la possibilità di esprimere un radicale sotto forma di potenza poiché ci permette di sfruttare le proprietà delle potenze per poter fare ragionamenti del tipo:
Facciamo due esempi:
Teorema
È possibile definire la radice n-esima anche se
è negativo ed è dispari: difatti possiamo definire Attenzione radice n-esima di un numero negativo per un indice pari, infatti
Non esiste la
Operazioni e principali proprietà
Il primo passo per poter operare su un radicale, consiste nello studiare le condizioni di esistenza al variare della
Proprietà invariantiva
Attenzione
Applicare la proprietà invariantiva ad un radicando letterale potrebbe farci incappare in problemi relativi al campo di esistenza, vediamo alcuni esempi
in questo caso l’uguaglianza è corretta infatti il primo radicale esiste , proprio come il secondo e sono sempre poiché elevati ad una potenza pari
in questo caso i due radicali esistono e mantengono il segno di
in questo caso il primo radicale esiste in quanto il radicale anche per valori negativi di sarà maggiore di 0, il secondo invece non esiste per valori negativi di quindi bisogna utilizzare il valore assoluto in questo caso, sia il primo radicale che il secondo, esistono , il primo però è sempre maggiore di 0, mentre il secondo solo per valori positivi di , quindi possiamo correggere la scrittura così
Prodotto di radicali con lo stesso indice
Quoziente di due radicali con lo stesso indice
Riduzione di due radicali allo stesso indice
Moltiplicazione e divisione di radicali con indici diversi
Radice di radice
Trasportare un fattore sotto il segno di radice
Trasportare un fattore fuori dal segno di radice