Definizione
Il teorema afferma che se una funzione
ha un limite quando si avvicina a un punto , allora quel limite è unico. In altre parole, se esistono limiti e tali che e , allora .
- Se
e , allora .
Dimostrazione:
- Supponiamo per assurdo che
. - Per la definizione di limite, per ogni
esistono e tali che quando e quando . - Scegli un
piccolo, ad esempio . - Scegli
. Per , sia che devono essere veri, il che porta a una contraddizione.
Esempi:
- Considera la funzione
per e . Il limite di mentre si avvicina a 0 è 1, e per il teorema di unicità, non può esistere un altro limite diverso da 1.
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f(x) = sin(x)/x