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Funzioni a singola variabile reale

4 minuti

Una funzione a singola variabile reale () è una relazione tra due Insiemi, chiamati dominio e codominio, che associa ad ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

Come funziona?

La funzione prende qualsiasi valore nel dominio, lo elabora e lo associa ad uno e un solo elemento del codominio: ciò significa che dato uno stesso criterio (o legge) un numero non può contemporaneamente esprimersi in due valori distinti nell’insieme ma solo in uno, inoltre 2 o più valori del dominio possono esprimersi in uno stesso valore nel codominio.

Ad esempio (letta come definita in ha valori in compresa in ) è un criterio che associa ogni elemento di ad uno e un solo valore nell’insieme .

Definizione

Una funzione da un insieme (dominio) a un insieme (codominio) è definita come , tale che per ogni , esiste un unico tale che .

  • Notazione: La notazione indica che è l’immagine di tramite la funzione .

Tipi di funzioni

Iniettive: Una funzione è iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel codominio. Formalmente, è iniettiva se per ogni .

Transclude of Funzioni-a-singola-variabile-reale-2024-03-23-08.08.48.excalidraw-1

Suriettive: Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Formalmente, è suriettiva se per ogni , esiste un tale che .

Transclude of Funzioni-a-singola-variabile-reale-2024-03-23-08.08.48.excalidraw

Biunivoche (o Biiettive): Una funzione è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Questo significa che esiste una corrispondenza uno-a-uno tra gli elementi del dominio e quelli del codominio.

Transclude of Funzioni-a-singola-variabile-reale-2024-03-23-08.08.48.excalidraw-1-1

Operazioni sulle Funzioni

Inversa: Se una funzione è biiettiva, allora esiste la sua funzione inversa tale che per ogni e per ogni .

Composizione: Data due funzioni e , la composizione è definita come per ogni .

Esempio-funzioni-composte

Limiti e Continuità

  • Limite: Il limite di per che tende a è il valore a cui si avvicina man mano che si avvicina ad .
  • Continuità: Una funzione è continua in un punto se il limite di per che tende ad è uguale a .

Funzioni Limitate

Una funzione è limitata superiormente se esiste un numero reale tale che per ogni . Analogamente, è limitata inferiormente se esiste un numero reale tale che per ogni . Se una funzione è sia limitata superiormente che inferiormente, allora è semplicemente detta limitata.

  • Esempio Limitato Superiormente: La funzione è limitata superiormente da perché per ogni .
---
title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-2,2,-2,2]
disableZoom: true
grid: true
---
f(x) = sin(x)
g(x) = 1
  • Esempio Limitato Inferiormente: La funzione è limitata inferiormente da poiché per ogni .
---
title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: true
grid: true
---
f(x) = exp(x)
g(x) = 0

Funzioni Illimitate

Una funzione è illimitata superiormente se, per ogni numero reale , esiste un tale che . Analogamente, è illimitata inferiormente se, per ogni numero reale , esiste un tale che . Una funzione è considerata illimitata se è illimitata almeno in una direzione (superiormente o inferiormente).

  • Esempio Illimitata Superiormente: La funzione è illimitata superiormente perché, per ogni , esiste sempre un tale che .
---
title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-5,10]
disableZoom: true
grid: true
---
f(x) = x^2
  • Esempio Illimitata Inferiormente: La funzione è illimitata inferiormente perché, per ogni , esiste sempre un tale che .
---
title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: true
grid: true
---
f(x) = -x^3

Vista grafico