Siano
Definizione
è continua in se è continua in ogni punto di accumulazione di , il che rende la continuità una proprietà locale
Una funzione che non è continua in un punto si dice discontinua in quel punto.
Attenzione
Anche la continuità è una proprietà locale
Esistono 3 tipi di discontinuità:
- Eliminabile, se il limite esiste finito e risulta
Consideriamo la funzione definita da
---
title:
xLabel:
yLabel:
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: true
grid: true
---
f(x) = sin(x)/x-
Di prima specie, se esistono limiti sinistro e destro finiti e sono diversi fra loro
Consideriamo la funzione
definita da Transclude of Drawing-2024-03-19-20.06.26.excalidraw
presenta una discontinuità di prima specie in , infatti -
Di seconda specie, se almeno uno fra i limiti sinistro e destro non esiste o non esiste finito
Consideriamo la funzione
definita da 
presenta una discontinuità di seconda specie in , infatti
Osservazione
Una funzione monotona può avere solo discontinuità di prima specie
Proprietà
-
Se
sono due funzioni continue in , allora lo sono anche le funzioni -
Se
e sono due funzioni continue in e rispettivamente, allora è continua in -
Una funzione continua su un insieme chiuso e limitato ammette massimo e minimo, Teorema di Weierstrass
-
Se
è continua in e se , allora esiste almeno un punto tale che , Teorema di esistenza degli zeri -
Sia
una funzione continua che assume due valori e in con , allora assume tutti i valori compresi fra e , Teorema dei valori intermedi -
Una funzione
si dice uniformemente continua se, per ogni , esiste un tale che per ogni con