Il Teorema di Weierstrass è uno dei teoremi fondamentali dell’analisi matematica che si occupa delle funzioni continue. Esso stabilisce delle proprietà molto importanti relative all’esistenza di valori massimi e minimi per le funzioni continue in intervalli chiusi e limitati.
Teorema
Se una funzione
è continua in un intervallo chiuso e limitato , allora assume un valore massimo e un valore minimo in .
Questo significa che esistono due punti
Applicazioni e Importanza
- Esistenza di massimi e minimi: Questo teorema garantisce che ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ha un massimo e un minimo assoluto in quell’intervallo.
- Analisi: Il teorema è cruciale nell’analisi, in particolare nello studio dell’ottimizzazione e nella ricerca dei punti di massimo e minimo per le funzioni.
Dimostrazione
- La dimostrazione si basa su due concetti: la continuità della funzione e la completezza dei numeri reali.
- Si costruisce una successione di punti in
dove i valori della funzione sono sempre più vicini al supposto massimo (o minimo). - Utilizzando la continuità di
e le proprietà dei numeri reali, si mostra che esiste un limite per questa successione e che tale limite è il valore massimo (o minimo) cercato.
Esempio
- Considera la funzione
sull’intervallo . Questa funzione è continua in . - Applicando il teorema di Weierstrass, possiamo dire che
raggiunge il suo valore massimo e minimo in questo intervallo. - In questo caso,
ha un minimo in ( e un massimo in .