Insieme ordinato

Cos’è un insieme ordinato?

In matematica, un insieme ordinato è una coppia formata da un insieme e una relazione d’ordine su di esso. La relazione d’ordine è una regola che specifica come confrontare due elementi distinti e di , determinando se precede , precede , oppure se non sono comparabili.

Proprietà

1. Riflessività: Per ogni elemento a di A, si ha a⪯a. In altre parole, ogni elemento è in relazione con se stesso.

2. Transitività: Se a⪯b e b⪯c, allora a⪯c. In parole povere, se a precede b e b precede c, allora a deve precedere anche c.

3. Antisimmetria: Se a⪯b e b⪯a, allora a=b. Cioè, se a precede b e b precede a, gli elementi a e b devono essere uguali.

Tipi di insiemi ordinati

- Insiemi totalmente ordinati: In questo caso, per ogni coppia di elementi distinti a e b di A, in altre parole, ogni coppia di elementi è comparabile. Esempi di insiemi totalmente ordinati includono i numeri reali con la relazione d’ordine usuale ≤, i numeri interi con ≤, e l’insieme delle lettere dell’alfabeto ordinate alfabeticamente.

- Insiemi parzialmente ordinati: In questo caso, è possibile che esistano coppie di elementi distinti a e b di A per cui non vale né a⪯b né b⪯a. In altre parole, alcune coppie di elementi potrebbero non essere comparabili. Un esempio di insieme parzialmente ordinato è l’insieme dei numeri reali con la relazione di divisibilità “è divisibile per”.