Funzione legame (Link function)

Definizione di funzione legame

La funzione legame (o link function, ) è una componente fondamentale dei Modelli Lineari Generalizzati (GLM). Essa stabilisce la relazione tra il valore atteso della variabile risposta e il predittore lineare . Matematicamente, si esprime come .

Scopo e Necessità

Il principale scopo della funzione legame è permettere di modellare variabili risposta che non seguono una distribuzione normale e per le quali la relazione tra la risposta e i predittori non è necessariamente lineare. In particolare, consente di mappare il range del valore atteso della variabile risposta, che spesso è limitato (ad esempio, le probabilità sono confinate tra 0 e 1), all’intero asse dei numeri reali, su cui opera il predittore lineare.

Le proprietà desiderate per includono la differenziabilità e la monotonicità (strettamente crescente o decrescente), con un’inversa ben definita .

Ruolo nei Modelli Lineari Generalizzati (GLM)

All’interno di un GLM, la funzione legame è uno dei tre elementi costitutivi, insieme alla componente casuale (la distribuzione della variabile risposta, appartenente alla famiglia esponenziale naturale) e alla componente sistematica (il predittore lineare).

La relazione fondamentale per la famiglia esponenziale è e , dove è il parametro naturale e è la funzione di varianza . La funzione legame canonica connette direttamente il valore atteso al parametro naturale . Questo tipo di legame offre vantaggi significativi in termini di semplificazione della stima dei parametri e proprietà statistiche ottimali.

Esempi Pratici di Funzioni Legame

La scelta della funzione legame dipende dalla distribuzione assunta per la variabile risposta:

1. Regressione Lineare (Distribuzione Normale):

   • Funzione Legame: Identità .
   • Esempio Immaginifico: Si vuole prevedere l’altezza media () di una popolazione in base all’età (X). Si assume che l’altezza sia normalmente distribuita. Il modello sarà semplicemente , cioè l’identità tra il valore atteso e il predittore lineare.

2. Regressione Logistica (Distribuzione Bernoulli/Binomiale):

   • Funzione Legame: Logit . Qui, è la probabilità di “successo” , che varia tra 0 e 1. La funzione logit mappa questo intervallo a .
   • Esempio Immaginifico: Prevedere la probabilità di default di un cliente () in base al suo saldo del conto (X). Poiché è una probabilità, il suo valore è tra 0 e 1. La funzione logit trasforma questa probabilità in log-odds, che possono variare su tutto l’asse reale: .

3. Regressione di Poisson (Distribuzione Poisson):

   • Funzione Legame: Log . Qui, è il tasso di eventi o il conteggio atteso, che deve essere non negativo. La funzione logaritmo garantisce che il valore atteso sia sempre positivo.
   • Esempio Immaginifico: Modellare il numero di incidenti stradali in un incrocio () in base al volume di traffico (X). Il numero di incidenti è un conteggio, quindi . La funzione logaritmica assicura che il valore atteso sia sempre coerente: .

4. Regressione Gamma (Distribuzione Gamma):

   • Funzione Legame: Log (più comune) o Inversa . Utilizzata per variabili continue positive e spesso asimmetriche, come tempi o costi.
   • Esempio Immaginifico: Stimare il costo medio dei sinistri assicurativi auto () in base all’età del conducente (X). I costi sono valori positivi, e la distribuzione Gamma è adatta per variabili continue positive con asimmetria. Il modello con link logaritmico sarebbe .

Stima dei Parametri

Nei GLM, i parametri del modello () vengono stimati tramite il metodo della massima verosimiglianza. Poiché le equazioni di verosimiglianza dipendono non linearmente da attraverso la funzione legame, la soluzione non è esplicita e richiede metodi iterativi. L’algoritmo standard è l’Iterative Weighted Least Squares (IWLS), che ad ogni iterazione risolve un problema di minimi quadrati ponderati, aggiornando dinamicamente i pesi che derivano dalla funzione legame e di varianza. Le derivate della funzione legame sono cruciali nella costruzione del vettore score e della matrice di informazione di Fisher utilizzati nell’IWLS.

Diagnostica GLM

Distinzione Cruciale: vs.

È fondamentale notare che nei GLM la trasformazione () viene applicata al valore atteso della variabile risposta (), non direttamente alla variabile risposta osservata . Questa distinzione è cruciale perché, in generale, . Trasformare direttamente potrebbe portare a stime incoerenti e errori sistematici, mentre la funzione legame nei GLM mantiene la coerenza dell’interpretazione statistica.