Indipendenza statistica

L’indipendenza statistica è un concetto fondamentale nella probabilità e nella statistica che descrive l’assenza di relazione tra due o più variabili o eventi. Intuitivamente, due variabili sono statisticamente indipendenti se la conoscenza del valore o della modalità di una non fornisce alcuna informazione sul valore o sulla modalità dell’altra.

Definizione e Implicazioni Fondamentali:

• Distribuzioni Congiunte: Per due caratteri e rilevati in una tabella a doppia entrata, l’indipendenza statistica si verifica se le frequenze osservate () rispettano la relazione o, analogamente, se le frequenze relative () sono uguali al prodotto delle frequenze marginali () per ogni . Il concetto di indipendenza è simmetrico.
• Covarianza: Una delle più dirette implicazioni dell’indipendenza è che la covarianza tra due variabili indipendenti è zero. La covarianza stessa è una misura dell’associazione tra variabili. Tuttavia, è cruciale notare che una covarianza pari a zero indica l’assenza di una relazione lineare, ma non implica necessariamente l’indipendenza statistica completa (potrebbero esistere relazioni non lineari).
• Operazioni su Variabili Casuali: Se due variabili casuali sono indipendenti, le loro funzioni di probabilità o di densità congiunte possono essere espresse come il prodotto delle loro funzioni marginali. Ad esempio, nella teoria delle trasformazioni Z, l’indipendenza tra due variabili e permette di esprimere il -trasformato della loro somma () come il prodotto dei loro -trasformati (). Questo è possibile perché l’aspettativa di un prodotto di funzioni di variabili indipendenti può essere separata nel prodotto delle aspettative.

Ruolo dell’Indipendenza nell’Inferenza Statistica e nei Modelli:

L’assunzione di indipendenza è un pilastro in molte metodologie statistiche e modelli di machine learning:

• Campionamento Casuale: Un campione è definito casuale quando le variabili casuali sono indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.) come la variabile casuale della popolazione che si intende studiare. Questo significa che la distribuzione di probabilità di un elemento campionario non dipende dai valori assunti dagli altri elementi e che tutti gli elementi hanno la stessa distribuzione della popolazione. Questa ipotesi è fondamentale per l’inferenza statistica.
• Stima di Massima Verosimiglianza (MLE): Per un campione di variabili che sono i.i.d., la funzione di verosimiglianza (likelihood), che è la densità congiunta del campione, viene calcolata come il prodotto delle densità marginali individuali. Questa separabilità semplifica notevolmente la massimizzazione della log-verosimiglianza, consentendo di stimare i parametri di ciascuna distribuzione marginale indipendentemente.
• Regressione Lineare: Tra le “assunzioni deboli” del modello di regressione lineare vi è l’indipendenza degli errori ( per ). Gli errori sono spesso assunti come campioni indipendenti da una distribuzione Gaussiana. È importante notare che, mentre gli errori e possono essere assunti indipendenti, i valori predetti e possono essere correlati.
• Classificatore Naive Bayes: Questo classificatore probabilistico è “ingenuo” proprio per la sua assunzione chiave: data la classe , tutte le caratteristiche sono condizionalmente indipendenti tra loro. Sebbene questa semplificazione sia raramente vera nel mondo reale, riduce notevolmente la complessità computazionale del modello e si è dimostrato sorprendentemente efficace in molte applicazioni.
• Analisi Discriminante Lineare (LDA) e Quadratica (QDA): Questi metodi classificatori si basano su ipotesi riguardo la distribuzione delle variabili esplicative condizionatamente alla classe (). Nel caso della LDA, si assume che le classi condividano la stessa matrice di covarianza ( per ogni ), il che porta a confini di decisione lineari. Nella QDA, invece, ogni classe ha la propria matrice di covarianza ( può variare tra le classi), risultando in confini di decisione quadratici.
• Analisi dei Dati Funzionali (FDA): In contesti di dati funzionali, l’indipendenza può essere assunta per i residui dopo aver tenuto conto delle medie specifiche del soggetto, sebbene questa assunzione possa essere troppo restrittiva in molti studi che presentano diversi livelli di variabilità funzionale.
• Martingale: Una somma di variabili casuali integrabili indipendenti con media zero (e ) è un esempio classico di martingale, dove .

Valutazione dell’Indipendenza:

• Test Chi-Quadrato di Pearson (): Per valutare la dipendenza in distribuzione tra due variabili qualitative, si utilizza l’indice di Pearson. L’ipotesi nulla () in questo test è che le due variabili siano indipendenti in distribuzione, mentre l’ipotesi alternativa () è che non lo siano. Se le variabili sono indipendenti, l’indice . Sotto , la statistica test si distribuisce asintoticamente come una distribuzione chi-quadrato.
• Coefficiente di Correlazione: Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson () misura la concordanza o discordanza lineare e assume valore 0 in assenza di correlazione lineare. Come menzionato, l’assenza di correlazione lineare non implica necessariamente indipendenza, ma l’indipendenza implica assenza di correlazione (e quindi ).

In sintesi, l’indipendenza statistica è un’assunzione potente che semplifica l’analisi e la modellazione dei dati, ma la sua validità deve essere attentamente considerata e, quando possibile, verificata, poiché un’assunzione errata può portare a conclusioni distorte o inaffidabili.