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L’analisi di una funzione f(x) permette di disegnare il grafico di una funzione tramite lo Studio del dominio, Studio del segno di una funzione, Studio delle derivate.
Ad esempio prendiamo in considerazione la funzione:
Calcolo del dominio
Dominio di una funzione
Determinare male l’insieme di definizione comporta l’annullamento dell’intero esercizio!
Il dominio di una funzione
è l’insieme dei valori possibili che la variabile indipendente può assumere, in modo che la funzione sia definita in tali valori. Il dominio è il più ampio sott’insieme di R per cui ha senso l’espressione. Il calcolo del dominio è il primo passo dello studio di una funzione nell’individuazione del dominio
(campo di esistenza) in cui la funzione è definita. Nel caso della funzione
l’intervallo di definizione sarà: Questo ci permette di trovare anche i punti per cui la funzione non è definita. Ad esempio, la funzione
non è definita in . Altri esempi
- Nel caso della funzione
l’intervallo di definizione sarà: - Nel caso della funzione
l’intervallo di definizione sarà: Come trovare il dominio di una funzione
Se nell’equazione della funzione non compaiono le seguenti condizioni allora il dominio della funzione è sicuramente tutto
:
- la variabile dipendente
a denominatore → - la variabile
all’interno di radici con indice pari → - logaritmi contenenti la
come base o argomento → - funzioni
o con argomento la → - funzioni esponenziale a base variabile →
a denominatore Consideriamo la funzione
- Dobbiamo porre il denominatore diverso da 0 →
- Il dominio è sicuramente l’intervallo
Consideriamo la funzione
- Poniamo il denominatore diverso da 0
- Il dominio è sicuramente l’intervallo
Consideriamo la funzione
- Poniamo il denominatore diverso da 0
- Il dominio è sicuramente l’intervallo
Consideriamo la funzione
- Poniamo il denominatore dell’esponente di
diverso da 0 - Ora poniamo il denominatore della funzione diverso da 0
- Il dominio è sicuramente l’intervallo
radici di
con indice pari Consideriamo la funzione
- Poniamo il radicando strettamente maggiore di 0
- Il dominio è sicuramente l’intervallo
Consideriamo la funzione
- Poniamo il radicando strettamente maggiore di 0
- Il domino è sicuramente l’intervallo
Consideriamo la funzione
Link all'originale
- Poniamo il radicando strettamente maggiore di 0
Studio del segno
Studio del segno di una funzione
Lo studio del segno è utile per delimitare in quali quadranti del diagramma cartesiano si presenta la funzione.
La funzione
è positiva nell’intervallo e ed è negativa nell’intervallo Link all'originale
/Piano_1.png)
Calcolo degli asintoti
Asintoti verticali, orizzontali e obliqui
Note
Il professore metterà esercizi con asintoto orizzontale = 0
Gli asintoti orizzontali
Gli asintoti orizzontali si trovano calcolando il limite per
tendente a più o meno infinito agli estremi del campo di definizione della funzione.
Per risolvere i due limiti utilizzeremo il Teorema di L’Hopital. In questo modo i limiti saranno due numeri finiti. Quindi, per
tendente a e la funzione ha due asintoti orizzontale all’altezza dell’ordinata . Gli asintoti verticali
L’asintoto verticale è una retta verticale che approssima l’andamento del grafico di una funzione nell’intorno di un punto
. Prendendo in considerazione il dominio
, la funzione non è definita nel punto .
Quindi a destra di la funzione tende a mentre a sinistra di rende a .
Gli asintoti obliqui
Note
Se gli asintoti orizzontali sono = 0 non c’è bisogno di calcolare asintoti obliqui.
Un asintoto obliquo è una retta che approssima l’andamento del grafico di una funzione all’infinito.
Se l’estremo è
o è possibile verificare l’eventuale presenza di un asintoto obliqui calcolando i seguenti limiti.
Se i limiti esistono e sono finiti, con
, allora c’è un asintoto obliquo . In questo caso, non esiste un asintoto obliquo né per
Link all'originaleche per .
/Piano_1-1.png)
/Piano_1-2.png)
Studio delle simmetrie
Studio delle simmetrie
- Se
allora la funzione è pari (e simmetrica rispetto all’asse ). - Se
allora la funzione è dispari (simmetrica rispetto all’origine). - In qualsiasi altro caso la funzione non né pari né dispari.
Nel caso della funzione
Link all'originale, questa non è una funzione simmetrica.
Trovare le intercetta con gli assi
Calcolo delle intercette con gli assi
Le intersezioni con gli assi
e sono utili per costruire il grafico. Intercetta della funzione con l’asse
Ponendo
calcolo il valore della : Quindi il punto di intersezione della funzione con l’asse è il punto , cioè l’origine. Intercetta della funzione con l’asse
Pongo
Link all'originaleper ottenere il valore della .
/Piano_1-3.png)
Individuare crescenza e decrescenza
Crescenza e decrescenza di una funzione
Per individuare i tratti in cui la funzione è crescente o decrescente, calcolo la derivata prima della funzione.
Link all'originale