Curva di Lorenz

Definizione di curva di Lorenz

La curva di Lorenz è un grafico che mostra come è distribuita una variabile statistica, come il reddito o la ricchezza. In altre parole viene usata per rappresentare graficamente il grado di concentrazione di una variabile.

• Vengono disposti i valori della variabile in ordine non decrescente;
• La curva si ottiene ponendo su un piano cartesiano le frequenze.

La curva di Lorenz è la rappresentazione grafica della concentrazione. Essa si costruisce su un piano cartesiano in cui l’asse delle ascisse rappresenta le frazioni cumulate di unità () e l’asse delle ordinate rappresenta le proporzioni cumulate dell’ammontare del carattere (). I punti vengono congiunti da una spezzata.

•

La bisettrice (la retta ) rappresenta la perfetta equidistribuzione, dove per ogni .

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Maggiore è l’area compresa tra la bisettrice e la curva di Lorenz, maggiore è la concentrazione. Questa area è direttamente proporzionale al rapporto di Gini.

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In condizioni di massima concentrazione, la curva di Lorenz coincide con l’asse delle ascisse per le prime unità (poiché per ) e poi sale verticalmente al punto (l’ultima unità possiede l’intero ammontare).

Codice Python plot curva di Lorenz

data = sns.load_dataset("diamonds")
 
af_price = data['price'].value_counts().sort_values()   # Frequenza assoluta di 'price'
 
# Frequenze relative e cumulate
rel_freq = af_price / len(data)
cum_rel_freq = rel_freq.cumsum()
price_proportion = np.arange(1, len(af_price) + 1) / len(af_price)   # Proporzione cumulata del prezzo
 
# Indice di concentrazione di Gini
x_lorenz = np.insert(price_proportion, 1, 0)   # Aggiungo 0,0 come punto iniziale
y_lorenz = np.insert(cum_rel_freq.values, 0, 0)
 
# Area sotto la curva di Lorenz
area_lorenz = np.trapezoid(y_lorenz, x_lorenz)
 
# Area sotto la retta di equidistribuzione
area_equi = 0.5
 
# Indice di Gini
gini = (area_equi - area_lorenz) / area_equi
 
# 4. Disegno della curva di Lorenz
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
ax.plot(x_lorenz, y_lorenz, 'b-', linewidth=2, label='Curva di Lorenz')
plt.plot([0, 1], [0, 1], 'r--', linewidth=2, label='Equidistribuzione')
plt.xlabel('Proporzione cumulata delle isole')
plt.ylabel('Proporzione cumulata dei pinguini')
plt.title(f'Curva di Lorenz per la distribuzione dei pinguini sulle isole\nIndice di Gini = {gini:.4f}')
plt.grid(True)
plt.legend()
 
# Tabella riepilogativa
table = pd.DataFrame({
    'Island': af_price.index,
    'Frequenza assoluta': af_price.values,
    'Frequenza relativa': rel_freq.values,
    'Frequenza cumulata': cum_rel_freq.values
})
 
print("Tabella di distribuzione dei pinguini per isola:")
print(table) 
print(f"\nIndice di concentrazione di Gini: {gini:.4f}")
 
plt.show()

Esempio

La curva di Lorenz è spesso usata per misurare la disuguaglianza nella distribuzione del reddito o della ricchezza