Funzione di verosimiglianza

Definizione di funzione di verosimiglianza

La funzione di verosimiglianza (in inglese likelihood function) è una funzione di Probabilità condizionata che può essere pensata come uno strumento di un’indagine statistica: misura quanto è probabile osservare un certo insieme di dati, dato un modello con dei parametri.

In altre parole per un dato campione osservato , la funzione di verosimiglianza associa a ogni possibile valore di la probabilità (o densità) di osservare quel campione.

Formula dello stimatore di massima verosimiglianza

dove:

• è la funzione di densità (o massa di probabilità) per il dato
• è il vettore dei parametri da stimare
• La produttoria indica che le osservazioni che stiamo moltiplicando sono indipendenti.

Funzione di log-verosimiglianza

La funzione di log-verosimiglianza è preferita rispetto alla standard per semplificare la massimizzazione e si usa per stimare tramite il metodo della massima verosimiglianza (MLE).

Stima di massima verosimiglianza

È il valore di che massimizza la funzione di verosimiglianza.

Esempio

Hai lanciato una moneta 10 volte e hai ottenuto:

• 7 teste
• 3 croci

Vuoi stimare la probabilità di ottenere testa.

1. Modello: ogni lancio è una Bernoulli (testa=1, croce=0)
2. La verosimiglianza è:

3. Vuoi trovare il valore di che massimizza questa funzione.

Per farlo, puoi derivare e risolvere l’equazione per trovare il massimo.

Risultato: (quindi la stima di massima verosimiglianza è 0.7)